复分析历史悠久的学科,主要是研究解析函数,亚纯函数

时间:2021-10-05 17:01来源:网络整理作者:飞飞教育点击:

导读:

我研究复杂分析很多年了,读了很多书和论文。作品的简要总结,方便后人学习参考。

复分析是一门历史悠久的学科。主要研究复球面上解析函数和亚纯函数的性质。下面将这些基本内容一一介绍。

(1)提到复变函数,首先要了解复数的基本性质和四个算术规则。如何计算复数的平方根,极坐标和xy坐标的转换,以及取模复数。这些都是在高中的时候基本学过的。

(2)复变函数自然是在复平面上研究的。这时候数学分析中求导等操作自然会被引入复平面,导致解析函数的定义。然后研究性质解析函数是关键,最关键的地方就是所谓的柯西-黎曼公式,它是判断一个函数是否是解析函数的关键。

(3)了解解析函数的定义和性质后,将数学分析中曲线积分的概念引入复分析,定义几乎相同。引入闭曲线和曲线积分后,会有出现了复分析中的一个重要定理:柯西积分公式,这是复分析的第一个重要定理。

(4)既然是解析函数,那么函数的定义域是一个关键问题,可以从整个定义域考虑这个函数,也可以局部研究这个函数。这时候,研究解析函数的奇异性函数的关键在于奇点可以根据其性质分为三类:可消除奇点、极值、自然奇点,围绕这三类奇点有独特的定理。

(5)在复变函数中,余数定理是一个重要的定理,反映了曲线积分和零极点的性质。相似论证定理也表现出类似的关系。

(6) 除了积分,导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念可以引出泰勒级数和洛朗级数的概念。另外,还有一个很重要的定理,即是 Arzela 定理。

(7) 以上是从解析的角度来研究复分析的,从几何的角度来看,最重要的定理是黎曼映射定理。这时候一般会引入线性变换,也就是Mobius变换. 各个区域被映射到一个单位圆. 研究莫比乌斯变换的共形和交叉对比特性。

(8)椭圆函数,经典的双周期函数。这里是Weierstrass理论,研究Weierstrass函数复变函数与积分变换学习辅导与习题选解,经典微分方程,以及函数的性​​质。

以上是复分析或复变函数的一些课程介绍。如有遗漏或遗漏复变函数与积分变换学习辅导与习题选解,请指教。

推荐书籍:

(1)复杂分析,第 3 版,Lars V.Ahlfors

(2)复杂分析,Elias M. Stein

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